初中数学习题“变式训练”

　　在数学教学中，如何遵循数学本身的发现、发明和发展规律，遵循学生认知规律和教育学原理，以培养学生创造性思维，进一步提高学生数学素质，变式训练是一条必由之路，可以达到提高题目利用率，做一题懂一类的目的，使学生从题与题的联系中体会“数学美”。

　　一、变式训练的意义

　　变式训练，是指对问题的条件或结论的知识载体进行引申、迁移、运用，变出问题结构与原题基本相同的一种方法。它强调学生在解题过程中要注意归纳解题方法，在完成一道题的解答后，对这道题进行多层次、多角度的变化，对其解法、适用范围、结论应用等方面作进一步探讨，这是一个归纳的过程。

　　通过变式训练，培养学生的思维发散性和敏捷性，对习题灵活变通，引申推广；培养学生思维的深刻性和抽象性，总结解题方法，优化思维品质；培养思维的严谨性和批判性，发现解题规律，加深对知识的理解。

　　对数学问题多角度审视引发不同联想，是变式训练思维的本源。丰富合理联想，是提高数学能力的必由之路。在教学中，我们一定要注意变式训练，合理联想提取相关知识，调用一定的数学方法加工、处理题设条件及知识，提高单个题的利用率，达到做一题懂一类的目的。

　　二、变式训练的方法

　　反复进行变式训练，是帮助学生克服思维狭窄的有效方法。

　　新课以简单题入手，由浅入深，使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。习题课实施变式训练，把较难题进行改变，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。

　　复习课实施变式训练，适当扩展和延伸，起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用，一题多用、多题规一，以达到“做一题会一片”的效果。

　　学生不就题论题，能多思多变，自己也可以将题目中的某一条件改变，对知识进行重组，探索新知识，解决新问题。

　　变式训练遵循的变形原则有：变图形训练、逆反变式训练（即条件、结论互变式）、综合变式训练。

　　教师要引导学生进行题后反思，在完成一道题的解答时，对该题的内容、形式、条件、结论作进一步探讨，掌握该题所反映的问题实质，从变中发现“不变”，必使学生受益匪浅。

　　变式训练的常用方法有：

　　1.变换命题条件与结论；

　　2.保留条件，深化结论；

　　3.减弱条件，加强结论；

　　4.探讨命题推广；

　　5.考查命题特例；

　　6.生根伸枝，图形变换；

　　7.接力赛，一变再变；

　　8.解法多变等。

　　在平时的教学中，从本质上认识到难题中已知与已知、已知与结论之间的必然关系，以及与它们有关联的几何原理等，通过广开思路，深层剖析难题的内部规律，探究思维路径，再加以发散……甚至我们还可以变换原题中的已知和结论，进而构建新命题，达到一通百通。

　　变式训练，一点也不浪费时间，经常做这种训练，不仅可以培养学生的发散思维能力及相关知识点的迁移能力，也可以扩大学生的知识容量，提高思维质量，还可以培养学生面对难题的从容心态。

　　三、变式训练在课堂中的运用

　　在教学中，我提倡学生做一道题收获一类题：不仅要会将给定题目分析得解，还要学会总结反思解题规律、方法思路、技巧、数学思想方法等，最重要的是要充分发挥一道题的作用，学会对一道题从不同角度进行变式，在变化中分析、思考，从而达到将知识学活、学会学习的目的。

　　以“一次函数的基本知识”复习课为例，谈谈如何用一道题目变式来囊括所有知识点的复习。

　　例题：已知函数y=(2-k)x-3k+9是一次函数，求k取值范围.

　　【设计意图】考查一次函数定义：y=kx+b中k≠0.

　　一变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+6图象经过原点.

　　【设计意图】考查点与图象和点坐标与函数解析式之间的对应关系：图象过原点等价于x=0，y=0满足y=(2-k)x-3k+9.

　　二变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9图象与y轴交点在x轴上方.

　　【设计意图】考查一次函数图象与x轴、y轴交点问题，并能将文字语言翻译成数学语言：与y轴交点在x轴上方表示交点纵坐标，即-3k+9（一般式中b）大于0.

　　三变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9，y随x增大而减小。或（a，b）(m，n)均在一次函数y=(2-k)x-3k+9的图象上，且an，求k取值范围.

　　【设计意图】考查一次函数性质.

　　四变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9图象经过一、二、四象限？

　　【设计意图】学习一次函数的最重要方法是数形结合。结合图象，将问题转化为解关于k不等式组.

　　五变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9图象平行于直线y=-x.

　　【设计意图】考查决定两条直线位置关系因素，这里只涉及简单情形：两条直线平行等价于2-k=-1（即一般式中k相等）.

　　六变：直线y1=(2-k)x-3k+9与直线y2=3x+5交于点P(-1，a).

　　（1）求k值；

　　（2）x为何值时，y1>y2；

　　（3）求直线y=(2-k)x-3k+9、直线y=3x+5与x轴围成的三角形面积.

　　【设计意图】（1）交点的意义：点P(-1，a)同时满足y1=(2-k)x-3k+9与直线y2=3x+5，从而求得a，k；（2）解决第二问时有多种方法：解不等式，数形结合；（3）第三问需要借助图象明确所求图形，弄清点坐标与线段长关系（这是学生的易错点，补充强化练习：如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成三角形面积是8，求k值）.

　　变式训练教学收获反思：

　　1.在本节课中，通过对一次函数y=(2-k)x-3k+9进行多角度变式，将转化思想、数形结合思想加以应用，学生的思维、能力均得以发展。

　　2.“变式训练”教学容易提高教师驾驭课堂的能力。

　　3.天长日久受教师影响，学生也会逐渐习惯题目变式。

　　在几何方面，有很多比较棘手的题目，都是由简单的基础题型经过一系列变化（或者说是加工处理）后形成的。

　　如题：点P在△ABC内，且PB=PC，∠PAB=2∠PAC，∠ABC=2∠ACB.求证：AP=AB.

　　一变：点P在△ABC内，且AP=AB，∠PAB=2∠PAC，∠ABC=2∠ACB.求证：PB=PC.

　　二变：点P在△ABC内，且AP=AB，∠PAB=2∠PAC，∠ABC=2∠ACB.求证：∠PCA=定值.

　　三变：点P在△ABC内，且PB=PC，∠ACP=30°，∠ABC=2∠ACB.求证：∠PAB=2∠PAC.

　　变式训练是我国中学数学教育的优良传统，是由一道原始题目从题设条件变换、数据衍变、内容拓展、设问转化、习题类比化等角度进行演变，是对原有知识的巩固和升华，使其在具体应用中得到加强并延伸，使学生从更深层次上理解题目。

　　在中学数学习题的变式教学中，所选用的“题源”应以课本例题与习题为主。课本题均是经专家学者多次筛选后的精品，因此我们要对其精心设计和挖掘，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解的变式题。